Question

6．已知四面體OABC各棱長為1，D是棱OA的中點，則異面直線BD與AC所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 先畫出四面體OABC，取棱OC中點E，連接DE，BE，可判斷∠BDE便是異面直線BD與AC所成角，并容易求出$BD=BE=\frac{\sqrt{3}}{2}，DE=\frac{1}{2}$，這樣便可得到cos∠BDE=$\frac{\frac{1}{2}DE}{BD}$．

解答 解：如圖，取OC中點E，連接DE，BE；
∵D是棱OA的中點；
∴DE∥AC；
∴∠BDE或其補角為直線BD，AC所成角；
則在△BDE中，BD=BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，DE=$\frac{1}{2}$；
∴$cos∠BDE=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$；
∴∠BDE為異面直線BD，AC所成角，其余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 三角形中位線的性質，異面直線所成角的概念及求法，以及直角三角形邊角的關系．