Question

8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．若M，N分別為棱PD，PC上的點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)，且AC=2OM=2ON．
（Ⅰ）求證：平面ABM⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直線CD與平面ACM所成的角的正弦值；
（Ⅲ）求點(diǎn)N到平面ACM的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題設(shè)知，AC=2OM，則AM⊥MC，CD⊥平面PAD，則CD⊥AM，有AM⊥平面PCD，由此能證明平面ABM⊥平面PCD．
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACM的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求出直線CD與平面ACM所成的角的正弦值；
（Ⅲ）確定$\overrightarrow{AN}$=（$\frac{8}{9}$，$\frac{16}{9}$，$\frac{20}{9}$），利用向量的距離公式．由此能求出點(diǎn)N到平面ACM的距離．

解答 （Ⅰ）證明：依題設(shè)知，AC=2OM，則AM⊥MC．
又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，則PA⊥CD，又CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，則CD⊥AM，
所以AM⊥平面PCD，
所以平面ABM⊥平面PCD．                           …（4分）
（Ⅱ）解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）；
設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{AM}$可得：$\left\{\begin{array}{l}{2x+4y=0}\\{2y+2z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，則$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1）．
設(shè)所求角為α，則sinα=|$\frac{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{CD}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．                       …（9分）
（Ⅲ）解：由條件可得，AN⊥NC．
設(shè)$\overrightarrow{PN}$=λ$\overrightarrow{PC}$=（2λ，4λ，-4λ），則$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{PN}$=（2λ，4λ，4-4λ），
所以$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{PC}$=（2λ，4λ，4-4λ）•（2，4，-4）=36λ-16=0
解得λ=$\frac{4}{9}$，所以$\overrightarrow{AN}$=（$\frac{8}{9}$，$\frac{16}{9}$，$\frac{20}{9}$），
設(shè)點(diǎn)N到平面ACM距離為h，則h=$\frac{|\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{10\sqrt{6}}{27}$．       …（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，正確利用向量的方法是關(guān)鍵．