(14分)設函數(shù)，其中．

（Ⅰ）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)僅在處有極值，求的取值范圍；

（Ⅲ）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．

 

【答案】

（Ⅰ）在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)．

（Ⅱ）．（Ⅲ）．

【解析】(I)當時，直接求導，利用導數(shù)大（小）于零，求其單調(diào)遞增（減）區(qū)間即可. 

(2)由題意知，顯然不是方程的根為使僅在處有極值，必須成立，即有，到此問題基本得以解決.

(3) 由條件，可知，從而恒成立．這樣根據(jù)可確定其單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為.然后通過比較f(-1)和f(1)求出最大值，根據(jù)最大值小于或等于1在[-1,1]上恒成立.來建立b與a的不等式，確定出b的范圍.

（Ⅰ）．

當時，．

令，解得，，．

當變化時，，的變化情況如下表：

0

2

－

0

＋

0

－

0

＋

↘

極小值

↗

極大值

↘

極小值

↗

所以在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)．

（Ⅱ）解：，顯然不是方程的根．

為使僅在處有極值，必須成立，即有．

解此不等式，得．這時，是唯一極值．

因此滿足條件的的取值范圍是．

（Ⅲ）由條件，可知，從而恒成立．

當時，；當時，．

因此函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者．

為使對任意的，不等式在上恒成立，當且僅當，

即，在上恒成立．

所以，因此滿足條件的的取值范圍是．

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分14分）設函數(shù)，其圖象對應的曲線設為G．（Ⅰ）設、、，為經(jīng)過點（2，2）的曲線G的切線，求的方程；

       （Ⅱ）已知曲線G在點A、B處的切線的斜率分別為0、，求證：；

       （Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當時，恒成立，求常數(shù)的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本題滿分14分）設函數(shù)，其圖象在點處的切線的斜率分別為．（1）求證：；

（2）若函數(shù)的遞增區(qū)間為，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年福建省高三第一次階段考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）設函數(shù)。

 （1）若在處取得極值，求的值；

 （2）若在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）設，當時，

求證：① 在其定義域內(nèi)恒成立；

求證：② 。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年廣東省實驗學校高三9月月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分14分）

設函數(shù)，且，其中是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求與的關系；

（2）若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

（3）設，若在上至少存在一點，使得＞成立，求實數(shù)的

取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年福建省高二第二學期半期考試數(shù)學（理科）試題 題型：解答題

（本小題滿分14分）

設函數(shù)Z），曲線在點處的切線方程為。

（1）求的解析式；

（2）證明：函數(shù)的圖象是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；

（3）證明：曲線上任一點的切線與直線和直線所圍三角形的面積為定值，并求出此定值。

 

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