Question

實(shí)數(shù)x，y滿足2^2x+y+2^x+2y=4^x+4^y，則

1

4x

+

1

4y

的最大值是

 

．

Answer 1

分析：令2^x=a＞0，2^y=b＞0．原題變?yōu)椋骸耙阎�正�?shí)數(shù)a，b滿足a²b+ab²=a²+b²，求

1

a2

+

1

b2

的最大值．”．由于a²b+ab²=a²+b²，a＞0，b＞0，變形并利用基本不等式可得

1

a

+

1

b

=

1

a2

+

1

b2

≤

2( 1 a2 + 1 b2 )

，令t=

1

a2

+

1

b2

＞0，則t²-2t≤0，解出即可．

解答：解：令2^x=a＞0，2^y=b＞0．
則原題變?yōu)椋骸耙阎�正�?shí)數(shù)a，b滿足a²b+ab²=a²+b²，求

1

a2

+

1

b2

的最大值．”．
∵a²b+ab²=a²+b²，a＞0，b＞0，
∴

1

a

+

1

b

=

1

a2

+

1

b2

≤

2( 1 a2 + 1 b2 )

，
令t=

1

a2

+

1

b2

＞0，則t²-2t≤0，
解得0＜t≤2，
∴t的最大值是2，即

1

4x

+

1

4y

的最大值是2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“換元法”、基本不等式的性質(zhì)、一元二次不等式的解法，屬于難題．