Question

【題目】已知直線與拋物線交于兩點(diǎn).

（1）求證：若直線過拋物線的焦點(diǎn)，則；

（2）寫出（1）的逆命題，判斷真假，并證明你的判斷.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）逆命題：若，則直線過拋物線的焦點(diǎn)；真命題.見解析

【解析】

（1）不妨設(shè)拋物線方程為 ，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為 代入，驗(yàn)證.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為 代入，得，再由韋達(dá)定理驗(yàn)證.

（2）逆命題：直線過拋物線的焦點(diǎn). 是真命題.證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為 代入，解得 ，再由，求解.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為 代入，得 ，由韋達(dá)定理得再由，求得 與 的關(guān)系現(xiàn)求解.

（1）設(shè)拋物線方程為 ，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

兩個(gè)交點(diǎn) ，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，

代入，得 ，

所以.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，

代入，

得 ，

由韋達(dá)定理得 .

所以若直線過拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，則.

（2）逆命題：若，則直線過拋物線的焦點(diǎn). 是真命題

證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為 代入得

因?yàn)?/span>，

所以，

解得 ，

所以直線過拋物線的焦點(diǎn).

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，

代入，

得 ，

由韋達(dá)定理得 ，

又因?yàn)?/span>，

所以 ，

所以直線的方程，

所以直線過定點(diǎn)

即直線過拋物線的焦點(diǎn).