Question

已知數列{a_n}的首項a₁=2，前n項和為S_n，且-a₂，S_n，2a_n+1成等差．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=

an

(an-1)(an+1-1)

，求數列{b_n}的前n項的和．
（3）求證：

2

3

≤Tn＜1．

Answer 1

考點：數列的求和,數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（1）由-a₂，S_n，2a_n+1成等差得到數列遞推式2S_n=-a₂+2a_n+1，取n=n-1得另一遞推式，作差后即可證得數列{a_n}是等比數列，然后求得其通項公式；
（2）把數列{a_n}的通項公式代入b_n=

an

(an-1)(an+1-1)

，然后利用裂項相消法求數列{b_n}的前n項的和；
（3）由（2）中求得的結論直接放縮得答案．

解答： （1）解：∵-a₂，S_n，2a_n+1成等差數列，
∴2S_n=-a₂+2a_n+1，
當n≥2，S_n-1=-a₂=2a_n，
兩式相減得2a_n=2a_n+1-2a_n，
a_n+1=2a_n（n≥2），
∴

an+1

an

=2．
又當n=1時，2a₁=-a₂+2a₂，得a₂=2a₁，
∴n=1時也滿足

an+1

an

=2．
∴{a_n}是首項a₁=2，公比為2的等比數列，
∴a_n=2ⁿ；
（2）解：∵b_n=

an

(an-1)(an+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=(

1

21-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)
=1-

1

2n+1-1

；
（3）證明：∵2ⁿ⁺¹≥4，
∴Tn≥1-

1

3

=

2

3

，
又

1

2n+1-1

＞0，
∴T_n＜1．
∴

2

3

≤Tn＜1．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了裂項相消法求數列的和，訓練了放縮法證明數列不等式，是中檔題．