Question

如圖，已知球O是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的內(nèi)切球，則以球心O為頂點(diǎn)，以球O被平面ACD₁所截得的圓為底面的圓錐的體積為

3

108

π

．

Answer 1

分析：根據(jù)正方體和球的結(jié)構(gòu)特征，求得球O被平面ACD₁所截得的圓的半徑r，再通過利用球的性質(zhì)求出O到平面ACD₁的距離h即為圓錐的高，最后利用圓錐的體積求解即可．

解答：解：如圖，O為球心，也是正方體的中心，
設(shè)球O被平面ACD₁所截得的圓的半徑為r，AC中點(diǎn)為M，
則r=

1

3

D₁M=

6

6

，球的半徑R=

1

2

，
則O到平面ACD₁的距離h=

R2-r2

=

3

6

，
故圓錐的體積V=

1

3

πr²h=

3

108

π．
故答案為：

3

108

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方體和它的內(nèi)接球的結(jié)構(gòu)特征、圓錐的體積，關(guān)鍵是想象出截面圖的形狀，考查了空間想象能力．