Question

已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ）．
（1）若α-β=

π

6

，求

a

•

b

的值；
（2）若

a

•

b

=

4

5

，α=

π

8

，求tan（α+β）的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)量積運算和兩角和差的余弦公式即可得出；
（2）利用數(shù)量積運算、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和差的正切公式即可得出．

解答： 解：（1）∵α-β=

π

6

，∴

a

•

b

=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=cos

π

6

=

3

2

；
（2）∵

a

•

b

=cos（α-β）=cos(

π

8

-β)=

4

5

．
∴sin(

π

8

-β)=±

1-cos2( π 8 -β)

=±

3

5

．
∴tan(

π

8

-β)=±

3

4

．
∴當(dāng)tan(

π

8

-β)=

3

4

時，tan(

π

8

+β)=tan[

π

4

-(

π

8

-β)]=

tan π 4 -tan( π 8 -β)

1+tan π 4 tan( π 8 -β)

=

1- 3 4

1+ 3 4

=

1

7

．
同理當(dāng)tan(

π

8

-β)=-

3

4

時，tan(

π

8

+β)=7．

點評：本題考查了數(shù)量積運算、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和差的余弦及正切公式，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．