如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P（0,m）(m>0)作直線與拋物線交于A，B兩點，點Q是點P關(guān)于原點的對稱點.

（I）設點P分有向線段所成的比為，證明:；

（II）設直線AB的方程是x-2y+12=0，過A、B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程.

 

 

答案：
解析：

解：（Ⅰ）依題意，可設直線AB的方程為 代入拋物線方程得   

　　 ①

設A、B兩點的坐標分別是 、、x2是方程①的兩根.

所以     

由點P（0，m）分有向線段所成的比為，

得

又點Q是點P關(guān)于原點的對稱點，

故點Q的坐標是（0，－m），從而.

　　　　　　   

　　　　　　   

所以 

（Ⅱ）由 得點A、B的坐標分別是（6，9）、（－4，4）.

由   得

所以拋物線 在點A處切線的斜率為

設圓C的方程是

則

解之得

所以圓C的方程是 

即 

 

 


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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P（0，m）（m＞0）作直線與拋物線交于A，B兩點，點Q是點P關(guān)于原點的對稱點．
（I）設點P分有向線段
AB
所成的比為λ，證明：
QP
⊥(
QA
-λ
QB
)
（Ⅱ）設直線AB的方程是x-2y+12=0，過A，B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P（0，m）（m＞0）作直線與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點．
（I）若
AP
=λ
PB
(λ∈R)，證明：λ=-
x1
x2
；
（II）在（I）條件下，若點Q是點P關(guān)于原點對稱點，證明：
QP
⊥(
QA
-λ
QB
)；
（III）設直線AB的方程是x-2y+12=0，過A，B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，過拋物線x2=4y焦點的直線依次交拋物線與圓x2+（y-1）2=1于點A、B、C、D，則
AB
•
CD
的值是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•紹興模擬）如圖，過拋物線x2=4y焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點（A在第一象限），點C（0，t）（t＞1）．
（I）若△CBF，△CFA，△CBA的面積成等差數(shù)列，求直線l的方程；
（II）若|AB|∈(
9
2
，
64
7
)，且∠FAC為銳角，試求t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2004年湖南省高考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P（0，m）（m＞0）作直線與拋物線交于A，B兩點，點Q是點P關(guān)于原點的對稱點．
（I）設點P分有向線段所成的比為λ，證明：
（Ⅱ）設直線AB的方程是x-2y+12=0，過A，B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程．

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