Question

甲乙兩人參加英語(yǔ)口語(yǔ)考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對(duì)其中的6道，乙能答對(duì)其中的8題．規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)2題才算合格．
（Ⅰ）若一次考試中甲答對(duì)的題數(shù)為X，求X的概率分布和均值EX；
（Ⅱ）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）依題意，甲答對(duì)試題數(shù)X的可以取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．
（Ⅱ）設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，利用排列組合知識(shí)分別求出P（A）=

2

3

，P（B）=

14

15

，因?yàn)槭录嗀、B相互獨(dú)立，求出甲、乙兩人考試均不合格的概率，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，甲答對(duì)試題數(shù)X的可以取值為0，1，2，3，
P（X=0）=

C 3 4

C 3 10

=

1

30

，
P（X=1）=

C 1 6 C 2 4

C 3 10

=

3

10

，
P（X=2）=

C 2 6 C 1 4

C 3 10

=

1

2

，
P（X=3）=

C 3 6

C 3 10

=

1

6

，
概率分布如下：

X	0	1	2	3
P	1 30	3 10	1 2	1 6

甲答對(duì)試題數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

1

30

+1×

3

10

+2×

1

2

+3×

1

6

=

9

5

．
（Ⅱ）設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，
則P（A）=

C 2 6 C 1 4 + C 3 6

C 3 10

=

60+20

120

=

2

3

，
P（B）=

C 2 8 C 1 2 + C 3 8

C 3 10

=

56+560

120

=

14

15

，
因?yàn)槭录嗀、B相互獨(dú)立，
∴甲、乙兩人考試均不合格的概率為P（

.

A

•

.

B

）=（1-

2

3

）（1-

14

15

）=

1

45

，
∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為P=1-P（

.

A

.

B

）=1-

1

45

=

44

45

，
答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為

44

45

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)和對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．