已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對任意a,b∈R滿足下列關(guān)系式:f(a•b)=af(b)+bf(a),f(2)=2,an=
f(2n)
2n
(n∈N*)
,bn=
f(2n)
n
(n∈N*)
.考察下列結(jié)論:①f(0)=f(1); ②f(x)為偶函數(shù);③數(shù)列{an}為等差數(shù)列;④數(shù)列{bn}為等比數(shù)列.其中正確的結(jié)論有( 。
A、1個B、2個C、3個D、4個
分析:①令x=y=0,得f(0)=f(0•0)=0,令x=y=1得f(1)=f(1•1)=2f(1),∴f(1)=0,可知正確;
②用特例,f(-2)=f(-1×2)=-f(2)+2f(-1)=-2≠f(2),故f(x)不是偶函數(shù),
③f(2n)=f(2•2n-1)=2f(2n-1)+2n-1f(2)=2f(2n-1)+2n,有bn=bn-1+1,符合等差數(shù)列定義;
④b1═1,bn=1+(n-1)×1=n,f(2n)=2nbn=n2n,an═2n,故數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
解答:解:∵f(0)=f(0•0)=0,f(1)=f(1•1)=2f(1),∴f(1)=0,①正確;
f(1)=f[(-1)•(-1)]=-2f(-1),
∴f(-1)=0,f(-2)=f(-1×2)=-f(2)+2f(-1)=-2≠f(2),
故f(x)不是偶函數(shù),
故②錯;
則f(2n)=f(2•2n-1)=2f(2n-1)+2n-1f(2)=2f(2n-1)+2n
∴bn=bn-1+1,∴{bn}是等差數(shù)列,④正確;
b1═1,bn=1+(n-1)×1=n,f(2n)=2nbn=n2n,an═2n
故數(shù)列{an}是等比數(shù)列,③正確.
故選C.
點評:本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運用,主要涉及了函數(shù)的奇偶性,賦值法,等差數(shù)列,等比數(shù)列的定義及通項.
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已知f(x)是定義在(-4,4)上的奇函數(shù),它在定義域內(nèi)單調(diào)遞減 若a滿足f(1-a)+f(2a-3)小于0,求a的取值范圍.

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已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0時,都有
f(a)+f(b)
a+b
>0

(1)證明函數(shù)a=1在f(x)=-x2+x+lnx上是增函數(shù);
(2)解不等式:f(
1
x-1
)>0,x∈(0,+∞);
(3)若f′(x)=-2x+1+
1
x
=-
2x2-x-1
x
對所有f'(x)=0,任意x=-
1
2
恒成立,求實數(shù)x=1的取值范圍.

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8、已知f(x)是定義在R上的函數(shù),f(1)=1,且對任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,則g(2009)=( 。

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已知f(x)是定義在實數(shù)集R上的增函數(shù),且f(1)=0,函數(shù)g(x)在(-∞,1]上為增函數(shù),在[1,+∞)上為減函數(shù),且g(4)=g(0)=0,則集合{x|f(x)g(x)≥0}=( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù),且在(-∞,0)上是增函數(shù),設(shè)a=f(log47),b=f(log
12
3)
,c=f(0.2-0.6),則a,b,c的大小關(guān)系
a>b>c
a>b>c

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