Question

【題目】市場(chǎng)上有一種新型的強(qiáng)力洗衣粉，特點(diǎn)是去污速度快，已知每投放（且）個(gè)單位的洗衣粉液在一定量水的洗衣機(jī)中，它在水中釋放的濃度（克/升）隨著時(shí)間（分鐘）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，其中，若多次投放，則某一時(shí)刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于4（克/升）時(shí)，它才能起有效去污的作用.

（1）若只投放一次4個(gè)單位的洗衣液，則有效去污時(shí)間可能達(dá)幾分鐘？

（2）若先投放2個(gè)單位的洗衣液，6分鐘后投放個(gè)單位的洗衣液，要使接下來(lái)的4分鐘中能夠持續(xù)有效去污，試求的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)： 取）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，代入，依題意有效去污滿足，即或，解得，故有效去污時(shí)間可能達(dá)分鐘；（2）由于某一時(shí)刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和，故設(shè)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的濃度為，此時(shí)， ， ， ，令，將濃度相加，得，分離參數(shù)得，利用換元法和基本不等式求得，故的最小值為.

試題解析：

（1）由題意知有效去污滿足，則或

得，所以有效去污時(shí)間可能達(dá)8分鐘.

（2）， ， ，

令， ，

∴，若令， ，

又，

所以的最小值為1.6.