【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)時,若函數(shù)的兩個極值點(diǎn)分別為、,證明.

【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為,;無單調(diào)遞減區(qū)間;(2)證明見解析.

【解析】

(1)求得,分類討論,即可求解的單調(diào)區(qū)間,得到答案;

(2)根據(jù)是函數(shù)的兩個零點(diǎn),設(shè)是方程的兩個實(shí)數(shù)解,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)處取得極大值,在處取得極小值,進(jìn)而得到,代入得,令,則,得到,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可求解.

(1)由題意,當(dāng)時,,,

①當(dāng)時,恒成立,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;

②當(dāng)時,記,則,

所以當(dāng)時,,∴單調(diào)遞減,且

當(dāng)時,單調(diào)遞增,且,

所以當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增.

綜上所述,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,;無單調(diào)遞減區(qū)間.

(2),

是函數(shù)的兩個零點(diǎn),

是方程的兩個實(shí)數(shù)解,

,且,得,則有,

不妨設(shè),

,即得

,,

即得,從而得到,

,且,

由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)知函數(shù)處取得極大值,在處取得極小值.

, (*)

為方程的根,,

代人(*)式得,

,則,

設(shè),單調(diào)遞減,

從而有.

,即得證.

練習(xí)冊系列答案
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(2)為進(jìn)一步提高市民對電動車的使用熱情,市政府準(zhǔn)備為電動車車主一次性發(fā)放補(bǔ)助,標(biāo)準(zhǔn)如下:①電動自行車每輛補(bǔ)助300元;②電動汽車每輛補(bǔ)助500元;③對電池需要更換的電動車每輛額外補(bǔ)助400元.試求抽取的100輛電動車執(zhí)行此方案的預(yù)算;并利用樣本估計(jì)總體,試估計(jì)市政府執(zhí)行此方案的預(yù)算.

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