Question

【題目】設(shè)a1 ， a2 ， …，an為1，2，…，n按任意順序做成的一個排列，fk是集合{ai|ai＜ak ， i＞k}元素的個數(shù)，而gk是集合{ai|ai＞ak ， i＜k}元素的個數(shù)（k=1，2，…，n），規(guī)定fn=g1=0，例如：對于排列3，1，2，f1=2，f2=0，f3=0
（I）對于排列4，2，5，1，3，求
（II）對于項(xiàng)數(shù)為2n﹣1 的一個排列，若要求2n﹣1為該排列的中間項(xiàng)，試求的最大值，并寫出相應(yīng)得一個排列
（Ⅲ）證明=

Answer 1

【答案】解：（I）∵排列4，2，5，1，3，
fk是集合{ai|ai＜ak ， i＞k}元素的個數(shù)，
∴f1=3，f2=1，f3=2，f4=0，f5=0，
∴=3+1+2+0+0=6．
（II）當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n﹣1 的一個排列，
2n﹣1為該排列的中間項(xiàng)，前面有n項(xiàng)，后面有n項(xiàng)，
∴要求的最大值，只要使得排列滿足n到2n﹣2排列到2n﹣1的前面，1到n﹣1排列到2n﹣1的后面，
∴g1=0，g2=1，g3=2，…g2n﹣1=2n﹣2，
∴的最大值是=（2n﹣1）（n﹣1）
比如舉一個包含7項(xiàng)的數(shù)列：6，5，4，7，3，2，1
（III）∵fk是集合{ai|ai＜ak ， i＞k}元素的個數(shù)，
而gk是集合{ai|ai＞ak ， i＜k}元素的個數(shù)（k=1，2，…，n），
規(guī)定fn=g1=0，
∴fn﹣1=g2
fn﹣2=g3
…
∴f1=gn ．
∴=
【解析】（I）直接按定義來操作，根據(jù)fk是集合{ai|ai＜ak ， i＞k}元素的個數(shù)，看出符合條件的元素的個數(shù)，得到結(jié)果．
（II）（II）當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n﹣1 的一個排列，2n﹣1為該排列的中間項(xiàng)，前面有n項(xiàng)，后面有n項(xiàng)，要求的最大值，只要使得排列滿足n到2n﹣2排列到2n﹣1的前面，1到n﹣1排列到2n﹣1的后面，得到結(jié)果．
（III）fk是集合{ai|ai＜ak ， i＞k}元素的個數(shù)，而gk是集合{ai|ai＞ak ， i＜k}元素的個數(shù)（k=1，2，…，n），規(guī)定fn=g1=0，依次得到fn﹣1=g2 ， …，得到各項(xiàng)之和相等．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系才能正確解答此題．