Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）且滿足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），且x＞1時(shí)，f（x）＞0．
（1）求f（4）；
（2）判斷函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性，并證明；
（3）求滿足f（x）+f（x-3）≤2的x的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由條件可令x=y=2，即可得到f（4）=2；
（2）令0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，由于x＞1時(shí)，f（x）＞0，則f（

x2

x1

）＞0，則有f（x₂）=f（x₁•

x2

x1

），運(yùn)用條件結(jié)合單調(diào)性定義，即可判斷；
（3）不等式f（x）+f（x-3）≤2即為f[x（x-3）]≤f（4），由單調(diào)性得到不等式組，解出它們求交集即可．

解答： 解：（1）由于f（xy）=f（x）+f（y），且f（2）=1，
令x=y=2，則f（4）=2f（2）=2；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
理由如下：令0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，
由于x＞1時(shí)，f（x）＞0，
則f（

x2

x1

）＞0，
則有f（x₂）=f（x₁•

x2

x1

）=f（x₁）+f（

x2

x1

）＞f（x₁），
故有f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（3）不等式f（x）+f（x-3）≤2即為f[x（x-3）]≤f（4），
由于f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
則

x＞0 x-3＞0 x(x-3)≤4

，即有

x＞0 x＞3 -1≤x≤4

，
即有3＜x≤4．
故滿足f（x）+f（x-3）≤2的x的范圍是（3，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性及判斷，以及應(yīng)用單調(diào)性解不等式，注意定義域，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．