Question

有下列四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f（x）=lg（x+1）+lg（x-1）的定義域是（1，+∞）
②若冪函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，4），則該函數(shù)為偶函數(shù)
③函數(shù)y=5^|x|的值域是（0，+∞）
④函數(shù)f（x）=x+2^x在（-1，0）有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，解不等式可得定義域，即可判斷①；
由冪函數(shù)的定義和其偶性的判斷，即可判斷②；
運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求得值域，進(jìn)而判斷③；
由零點(diǎn)存在定理，計(jì)算f（-1）f（0），即可判斷④．

解答： 解：對(duì)于①，函數(shù)f（x）=lg（x+1）+lg（x-1），由x+1＞0，且x-1＞0，則x＞1，則①對(duì)；
對(duì)于②，若冪函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，4），則有f（x）=x²，則為偶函數(shù)．則②對(duì)；
對(duì)于③，函數(shù)y=5^|x|的，由于|x|≥0，則y=5^|x|≥5⁰=1，則有值域?yàn)閇1，+∞），則③錯(cuò)；
對(duì)于④，函數(shù)f（x）=x+2^x在（-1，0）遞增，且f（-1）•f（0）=（-1+

1

2

）×（0+2⁰）＜0，
由零點(diǎn)存在定理可得，f（x）在（-1，0）有且只有一個(gè)零點(diǎn)．則④對(duì)．
則正確的個(gè)數(shù)為3．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的定義域的求法、函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷和運(yùn)用，考查函數(shù)的值域和函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．