Question

2．已知函數(shù)f（x）=e^x（ax+b），曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程為y=4x+1．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

分析 （1）化簡可得f（x）=e^x（ax+b），f′（x）=e^x（ax+b+a），從而可得f（0）=e⁰b=1，f′（0）=e⁰（b+a）=4，從而解得．
（2）由（1）可得當x∈（-∞，-$\frac{4}{3}$）時，f′（x）＜0，當x∈（-$\frac{4}{3}$，+∞）時，f′（x）＞0；從而判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x（ax+b），
∴f′（x）=e^x（ax+b+a），
又∵曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程為y=4x+1，
∴f（0）=e⁰b=1，f′（0）=e⁰（b+a）=4，
故a=3，b=1；
（2）f（x）=e^x（3x+1），f′（x）=e^x（3x+4），
故當x∈（-∞，-$\frac{4}{3}$）時，f′（x）＜0，
當x∈（-$\frac{4}{3}$，+∞）時，f′（x）＞0；
故函數(shù)f（x）在（-∞，-$\frac{4}{3}$）上是減函數(shù)，在（-$\frac{4}{3}$，+∞）上是增函數(shù)；
故當x=-$\frac{4}{3}$時，f（x）有極小值為f（-$\frac{4}{3}$）=${e}^{-\frac{4}{3}}$•（3×（-$\frac{4}{3}$）+1）=-3${e}^{-\frac{4}{3}}$．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法．