Question

11．已知函數(shù)y=1-3^x+a•9^x在（-∞，1）上恒為正值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 通過換元，把函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f（t）=1-t+at²，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，通過對(duì)a的分類討論解決問題．

解答 解：令t=3^x，t∈（0，3）
∴f（t）=1-t+at²
=at²-t+1
=a（t-$\frac{1}{2a}$）²+1-$\frac{1}{4a}$，
顯然f（0）=1；
當(dāng)a=0時(shí)，f（t）=-t+1顯然不成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，
若△＜0，則1-4a＜0，
∴a＞$\frac{1}{4}$；
若△≥0，則：
$\frac{1}{2a}$＞3，
f（3）＞0，
解得知無解；
當(dāng)a＜0時(shí)，則，
f（3）＞0，
解得知無解；
故a的范圍為a＞$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 考察了換元的思想和二次函數(shù)性質(zhì)，難點(diǎn)是對(duì)參數(shù)a的分類討論．