Question

13．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，若a₃+a₁₁=30，a₄=9．
（1）求a_n；
（2）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且b_n=$\frac{1}{S_n}$，證明：b₁+b₂+…+b_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得首項(xiàng)和公差，可得a_n；
（2）求得S_n，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和求得{b_n}的前n項(xiàng)和，即可得證．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則a₁+2d+a₁+10d=30，a₁+3d=9，
解得a₁=3，d=2，
則a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（2）S_n=$\frac{1}{2}$（3+2n+1）n=n²+2n，
即有b_n=$\frac{1}{S_n}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
則b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{2×4}$+…+$\frac{1}{n（n+2）}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．