Question

設f（x）=

a

•

b

，

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），x∈R．
（I）若f（x）=0且x∈[-

π

3

，

π

3

]，求x的值
（II）g（x）=cos（ωx-

π

3

）+k與f（x）的最小正周期相同，g（x）經過（

π

6

，2），求g（x）的值域以及單調增區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）由平面向量數量積的坐標表達式，得出f（x）的解析式，將其化為形如Asin（ωx+φ）+k（A、ω、φ、k是常數）的形式，再解方程f（x）=0可得x的值；
（II）由f（x）的周期，得出g（x）的ω值，再解方程g（

π

6

）=2，解出k的值，可以得出g（x）的表達式，最后利用余弦函數的圖象與性質可得g（x）的值域以及單調增區(qū)間．

解答：解：（I）f（x）=

a

•

b

=2cos2x+

3

sin2x=1+cos2x+

3

sin3x
=2sin(2x+

π

6

) +1
f(x)=0即2sin(2x+

π

6

) +1=0
得sin(2x+

π

6

) =-

1

2

又因為x∈[-

π

3

，

π

3

]，所以-

π

2

≤2x+

π

6

≤

5π

6

可得2x+

π

6

=-

π

6

，所以x=-

π

6

（II）由（I）知f(x)=2sin(2x+

π

6

) +1
因為g（x）與f（x）的最小正周期相同
所以ω=2，又因為g（x）圖象經過（

π

6

，2），
∴cos(2×

π

6

-

π

3

)  +k=2
即1+k=2，故k=1
所以g(x)=cos(2x-

π

3

) +1，因此g（x）的值域為[0，2]
再解不等式2kπ-π≤2x-

π

3

≤ 2kπ得，kπ-

π

3

≤x≤ kπ+

π

6

    k∈ Z
所以函數g（x）的單調增區(qū)間為[kπ-

π

3

， kπ+

π

6

]，其中k∈Z

點評：本題考查了三角函數的綜合題，關鍵是利用三角恒等變換的公式對解析式進行化簡，再由條件進行求角的三角函數值，考查了知識的綜合應用能力．