Question

若f（x）=ax³+x在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍

a≥-

1

3

．

Answer 1

分析：由f（x）=ax³+x在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞增，得f′（x）=3ax²+1≥0在[-1，1]上恒成立，分a≥0，a＜0兩種情況討論：a≥0時易驗證；a＜0時分離出參數(shù)a后借助圖象可得不等式，解出即可；

解答：解：∵f（x）=ax³+x在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞增，
∴f′（x）=3ax²+1≥0在[-1，1]上恒成立，
若a≥0時，則f′（x）=3ax²+1≥0在[-1，1]上恒成立，滿足條件．
若a＜0時，要使f′（x）=3ax²+1≥0在[-1，1]上恒成立，則
滿足f′（1）≥0，即可，
即f′（1）=3a+1≥0，解得a≥-

1

3

．
此時-

1

3

≤a＜0．
綜上：a≥-

1

3

．
故答案為：a≥-

1

3

．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可導(dǎo)函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)遞增的充要條件是f′（x）≥0．