Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中動圓P與圓外切，與圓內(nèi)切.

（1）求動圓圓心P的軌跡方程；

（2）直線l過點且與動圓圓心P的軌跡交于A、B兩點.是否存在面積的最大值，若存在，求出的面積的最大值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）設(shè)動圓圓心，半徑為．利用已知條件轉(zhuǎn)化判斷動圓圓心P在以，為焦點的橢圓上，求出然后求解橢圓的方程；

（2）設(shè)直線的方程為或（舍）．聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達定理、弦長公式表示的面積，利用換元法和導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值中的應(yīng)用即可求出結(jié)果．

（1）設(shè)點，動圓的半徑為，

由題意知，，，

.

由橢圓定義可知，動圓圓心在以，為焦點的橢圓上，

，，

∴.所以.

由于圓M內(nèi)切于圓N于點，則.

因此，動圓圓心的軌跡方程為.

（2）因為直線過點，

若直線的方程為，顯然構(gòu)成不了，故舍去；

故可設(shè)直線的方程為，

則，整理得.

由.

設(shè)點、，

則，.

則

，

因為.

設(shè)，則，

則.

設(shè)，

所以在區(qū)間上為增函數(shù)，

所以.所以，

當且僅當時取等號，即.

因此，面積的最大值為.