Question

已知數(shù)列,,,…,,…,計算S₁,S₂,S₃,S₄,根據(jù)計算結(jié)果,猜想S_n的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進行證明.

Answer 1

分析：本題考查觀察、分析、歸納、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力,考查數(shù)學(xué)歸納法在等式證明中的應(yīng)用.在用觀察法求數(shù)列的通項公式時,要注意觀察項與項數(shù)的關(guān)系.

解：S₁==;

S₂=+=;

S₃=+=;

S₄=+=.

可以看到,上面表示四個結(jié)果的分?jǐn)?shù)中,分子與項數(shù)n一致,分母可用項數(shù)n表示為3n+1.于是可以猜想.                   

下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想.

(1)當(dāng)n=1時,左邊=S₁=,

右邊===,

猜想成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時猜想成立,即

+++…+=,   

那么, +++…++

所以,當(dāng)n=k+1時猜想也成立.

根據(jù)(1)、(2),可知猜想對任何n∈N*都成立.