Question

已知函數(shù)，設(shè)曲線在與x軸交點(diǎn)處的切線為，為的導(dǎo)函數(shù)，滿足．

（1）求；

（2）設(shè)，m＞0，求函數(shù)在[0，m]上的最大值；

（3）設(shè)，若對(duì)于一切，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

（1） ；

（2）；

（3）．

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)得，由得，導(dǎo)函數(shù)關(guān)于直線，從而可求的值，由已知條件可得切點(diǎn)坐標(biāo)，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求和的值；（2）由（1）得，從而可得，畫(huà)出分段函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合求得其最小值；（3）由已知可得，從而不等式可變現(xiàn)為，進(jìn)而變現(xiàn)為恒成立，去絕對(duì)值號(hào)，參變分離求實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)t的取值范圍．

試題解析：（1），

∵，∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，， 2分

∵曲線在與x軸交點(diǎn)處的切線為，∴切點(diǎn)為（3，0），

∴，解得c=1，d=-3，則 5分

（2）∵，

∴ 7分

當(dāng)0＜m≤時(shí)，

當(dāng)＜m≤時(shí)，，

當(dāng)m＞時(shí)，，

綜上 10分

（3），，,

當(dāng)時(shí)，|2x+1|=2x+1，所以不等式等價(jià)于恒成立，

解得，且x≠t， 13分

由，得，，所以，

又x≠t，∵ ，∴所求的實(shí)數(shù)t的的取值范圍是． 16分

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、二次函數(shù)的最值；3、絕對(duì)值不等式.