Question

12．設(shè)f（x）表示的是數(shù)位為x的“成功數(shù)“的數(shù)目，成功數(shù)的定義為：數(shù)位之和相加為5的正整數(shù)．如滿足f（1）的只有5，則f（1）=1，滿足f（2）的有14，41，23，32，50 則f（2）=5 求：
（1）推導(dǎo)出f（x）的解析式；
（2）在f（1），f（2），f（3）…f（2014）中有多少個(gè)的個(gè)位數(shù)字是1？

Answer 1

分析 這是組合的應(yīng)用題，可運(yùn)用放置隔板法，由不定方程x₁+x₂+…+x_n=m（m≤n，m，n∈N⁺）的非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)，相當(dāng)于在這n+m-1個(gè)間隔中放置m個(gè)隔板，隔板之間的球的個(gè)數(shù)就相當(dāng)于y_i．這樣共有放置隔板的方法為${C}_{n+m-1}^{m}$，這就是解的個(gè)數(shù)．以及組合數(shù)公式：${C}_{n}^{m}$+${C}_{n}^{m-1}$=${C}_{n+1}^{m}$，${C}_{n}^{m}$=${C}_{n}^{n-m}$，可得
（1）討論x=1，2，3，4，…考慮最高位數(shù)字為1，2，3，4，5，即有${C}_{x+2}^{4}$，${C}_{x+1}^{3}$，…，${C}_{x-2}^{0}$．再求和即可得到；
（2）討論x=1，2，3，4，…，2014，考慮最高位數(shù)字為1，2，3，4，5，即有${C}_{3}^{3}$，${C}_{4}^{3}$，${C}_{5}^{3}$，…，${C}_{2015}^{3}$，再求和計(jì)算即可得到．

解答 解：由不定方程x₁+x₂+…+x_n=m（m≤n，m，n∈N⁺）的非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)，
即為（x₁+1）+（x₂+1）…+（x_n+1）=m+n，
令y_i=x_i+1，那么y_i都為正整數(shù)代入原方程得：y₁+y₂+…+y_n-n=m，
即y₁+y₂+..+y_n=n+m，
一排n+m個(gè)球當(dāng)中，有n+m-1個(gè)間隔，
每組解（y₁，y₂，…，y_n）相當(dāng)于在這n+m-1個(gè)間隔中放置m個(gè)隔板，
隔板之間的球的個(gè)數(shù)就相當(dāng)于y_i．
這樣共有放置隔板的方法為${C}_{n+m-1}^{m}$，這就是解的個(gè)數(shù)．
以及組合數(shù)公式：${C}_{n}^{m}$+${C}_{n}^{m-1}$=${C}_{n+1}^{m}$，${C}_{n}^{m}$=${C}_{n}^{n-m}$，可得
（1）當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=1=${C}_{4}^{4}$；
當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=5=${C}_{5}^{4}$，
當(dāng)x=3時(shí)，f（3）=${C}_{5}^{4}$+${C}_{4}^{3}$+${C}_{3}^{2}$+${C}_{2}^{1}$+${C}_{1}^{0}$=${C}_{6}^{4}$；
…
即有f（x）=${C}_{x+2}^{4}$+${C}_{x+1}^{3}$+…+${C}_{x-2}^{0}$=${C}_{x+3}^{4}$；
（2）當(dāng)x=2時(shí)，個(gè)位數(shù)字為1的有41，即1個(gè)，即為${C}_{3}^{3}$個(gè)；
當(dāng)x=3時(shí)，個(gè)位數(shù)字為1的有131，221，311，401，即4個(gè)，即為${C}_{4}^{3}$個(gè)；
當(dāng)x=4時(shí)，個(gè)位數(shù)字為1的有${C}_{4}^{3}$+${C}_{3}^{2}$+${C}_{2}^{1}$+${C}_{1}^{0}$=${C}_{5}^{3}$個(gè)；
當(dāng)x=5時(shí)，個(gè)位數(shù)字為1的有${C}_{5}^{3}$+${C}_{4}^{2}$+${C}_{3}^{1}$+${C}_{2}^{0}$=${C}_{6}^{3}$個(gè)；
…
當(dāng)x=2014時(shí)，個(gè)位數(shù)字為1的有${C}_{2014}^{3}$+${C}_{2013}^{2}$+${C}_{2012}^{1}$+${C}_{2011}^{0}$=${C}_{2015}^{3}$，
綜上可得，共有${C}_{3}^{3}$+${C}_{4}^{3}$+${C}_{5}^{3}$+…+${C}_{2015}^{3}$=${C}_{4}^{4}$+${C}_{4}^{3}$+${C}_{5}^{3}$+…+${C}_{2015}^{3}$
=${C}_{5}^{4}$+${C}_{5}^{3}$+…+${C}_{2015}^{3}$=${C}_{6}^{4}$+…+${C}_{2015}^{3}$=…=${C}_{2016}^{4}$．
則有${C}_{2016}^{4}$個(gè)的個(gè)位數(shù)字是1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查新定義的理解和運(yùn)用，重點(diǎn)考查組合數(shù)公式的運(yùn)用和化簡，以及組合應(yīng)用題的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．