Question

12．一個四棱椎的三視圖如圖所示
（1）請畫出此四棱錐的直觀圖，并求證：PC⊥BD；
（2）在線段PD上是否存在一點Q，使二面角Q-AC-D的平面角為30°？若存在，求 $\frac{|DQ|}{|DP|}$的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）判斷三視圖的直觀圖的形狀，連接AC、BD交于點O，連接PO．證明PO⊥BD，BD⊥AC，證明BD⊥平面PAC，推出BD⊥PC．
（2）假設存在這樣的點Q，說明∠DOQ為二面角Q-AC-D的平面角，在△POD中，求出∠PDO=60°，
在△DQO中推出DP⊥OQ．然后求解$\frac{|DQ|}{|DP|}$．

解答 解：（1）由三視圖可知P-ABCD為四棱錐，底面ABCD為正方形，且PA=PB=PC=PD，

連接AC、BD交于點O，連接PO．PD=PB，OB=OD⇒PO⊥BD （…2分）
因為BD⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，即BD⊥PC． …（6分）
（2）由三視圖可知，BC=2，PA=2$\sqrt{2}$，假設存在這樣的點Q，
因為AC⊥OQ，AC⊥OD，所以∠DOQ為二面角Q-AC-D的平面角，…（8分）
在△POD中，PD=2$\sqrt{2}$，OD=$\sqrt{2}$，則∠PDO=60°，
在△DQO中，∠PDO=60°，且∠QOD=30°．所以DP⊥OQ．
所以OD=$\sqrt{2}$，QD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$． 所以$\frac{DQ}{DP}=\frac{1}{4}$…（12分）

點評 本題考查二面角的平面角的求解與應用，直線與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．