Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+a

2x+1+2

是定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷并證明單調(diào)性；
（3）求f（x）的值域；
（4）若不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0對(duì)t∈[1，3]恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的值域,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用f（x）為R上的奇函數(shù)，由f（0）=0即可求得a的值；
（2）利用將f（x）=

2x-1

2x+1+2

轉(zhuǎn)化為f（x）=

1

2

-

1

2x+1

，可判斷為R上的增函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)法證明即可；
（3）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，易求f（x）的值域?yàn)椋?

1

2

，

1

2

）；
（4）依題意，可得t²-2t＜k-2t²對(duì)t∈[1，3]恒成立，轉(zhuǎn)化為k＞3t²-2t=3（t-

1

3

）²-

1

3

（1≤t≤3）恒成立．令y=3（t-

1

3

）²-

1

3

（1≤t≤3），易求y_max=21，從而可求得k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

2x+a

2x+1+2

是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，解得a=-1；
（2）由（1）知，f（x）=

2x-1

2x+1+2

=

(2x+1)-2

2x+1+2

=

1

2

-

1

2x+1

，為R上的增函數(shù)；
證明：∵f′（x）=-[-

2xln2

(2x+1)2

]=

2xln2

(2x+1)2

＞0恒成立，
∴f（x）=

2x-1

2x+1+2

是定義在R上的增函數(shù)；
（3）∵2^x＞0，2^x+1＞1，
∴

1

2x+1

∈（0，1），-

1

2x+1

∈（-1，0），
∴

1

2

-

1

2x+1

∈（-

1

2

，

1

2

），即f（x）的值域?yàn)椋?

1

2

，

1

2

）；
（4）∵f（x）=

2x-1

2x+1+2

是定義在R上的遞增的奇函數(shù)，
且f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0對(duì)t∈[1，3]恒成立，
∴t²-2t＜k-2t²對(duì)t∈[1，3]恒成立，
∴k＞3t²-2t=3（t-

1

3

）²-

1

3

（1≤t≤3）恒成立．令y=3（t-

1

3

）²-

1

3

（1≤t≤3），
則k＞y_max，
當(dāng)t=3時(shí)，y=3（t-

1

3

）²-

1

3

（1≤t≤3）取得最大值21，
∴k＞21．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，著重考查函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查構(gòu)造函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．