Question

11．定義在R上的函數(shù)f（x）是增函數(shù)，且對任意的x恒有f（x）=-f（2-x），若實數(shù)a，b滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{f（{a}^{2}-6a+23）+f（^{2}-8b）≤0}\\{a≥3}\end{array}\right.$，則a²+b²的范圍為[13，49]．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式組進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合線性規(guī)劃的知識進行求解即可．

解答 解：∵f（x）=-f（2-x），∴-f（x）=f（2-x），
∴f（a²-6a+23）+f（b²-8b）≤0可化為f（a²-6a+23）≤-f（b²-8b）=f（2-b²+8b），
又∵f（x）在R上單調(diào)遞增，∴a²-6a+23≤2-b²+8b，
即a²-6a+23+b²-8b-2≤0，配方可得（a-3）²+（b-4）²≤4，
∴原不等式組可化為（x+2y）a²+2a+2xy-34≥0，
如圖，點（a，b）所對應(yīng)的區(qū)域為以（3，4）為圓心，2為半徑的右半圓（含邊界），
易知a²+b²表示點（a，b）到點（0，0）的距離的平方，
由圖易知：|OA|²≤a²+b²≤|OB|²，可得點A（3，2），圓心C（3，4），
∴|OA|²=3²+2²=13，|OC|=5，
則最大值為（|OC|+2）²=7²=49
∴13≤m²+n²≤49，即m²+n²的取值范圍為[13，49]．
故答案為：[13，49]

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用以及線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)單調(diào)性將不等式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．