Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D不等式組$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ x+2y-4≥0\\ 2y-3≤0\end{array}\right.$給定．若M（x，y）為D上的動點，點N的坐標(biāo)為（1，3），則z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的最小值為$\frac{14}{3}$．

Answer 1

分析 利用向量的數(shù)量積運算，求出z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x+3y，利用z的幾何意義，即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
∵M（x，y）為D上的動點，點N的坐標(biāo)為（1，3），
∴z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x+3y，
由z=x+3y得y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$z，
平移直線y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$z，
由圖象可知當(dāng)直線y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$z經(jīng)過點A時，y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$z的截距最小，此時z最�。�
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{8}{3}$，$\frac{2}{3}$），
代入z=x+3y=$\frac{8}{3}$+$\frac{2}{3}$×3=$\frac{14}{3}$．
即目標(biāo)函數(shù)z=x+3y最小值為$\frac{14}{3}$．
故答案為：$\frac{14}{3}$．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及數(shù)量積的運算，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．