Question

12．函數(shù)y=$\frac{sinx}{|sinx|}$+$\frac{cosx}{|cosx|}$+$\frac{tanx}{|tanx|}$+$\frac{cotx}{|cotx|}$+$\frac{cosx}{|secx|}$+$\frac{sinx}{|cscx|}$的值域是（-3，-1]∪{5}．

Answer 1

分析 由題意可知，角x的終邊不在坐標(biāo)軸上，然后分角的終邊在四個(gè)不同象限化簡，求出每一種情況的值域，取并集得答案．

解答 解：由題意可知，角x的終邊不在坐標(biāo)軸上，則
當(dāng)x為第一象限角時(shí)，y=$\frac{sinx}{|sinx|}$+$\frac{cosx}{|cosx|}$+$\frac{tanx}{|tanx|}$+$\frac{cotx}{|cotx|}$+$\frac{cosx}{|secx|}$+$\frac{sinx}{|cscx|}$
=$\frac{sinx}{sinx}$+$\frac{cosx}{cosx}$+$\frac{tanx}{tanx}$+$\frac{cotx}{cotx}$+$\frac{cosx}{secx}$+$\frac{sinx}{cscx}$=4+cos²x+sin²x=5；
當(dāng)x為第二象限角時(shí)，y=$\frac{sinx}{|sinx|}$+$\frac{cosx}{|cosx|}$+$\frac{tanx}{|tanx|}$+$\frac{cotx}{|cotx|}$+$\frac{cosx}{|secx|}$+$\frac{sinx}{|cscx|}$
=$\frac{sinx}{sinx}$-$\frac{cosx}{cosx}$-$\frac{tanx}{tanx}$-$\frac{cotx}{cotx}$-$\frac{cosx}{secx}$+$\frac{sinx}{cscx}$=-2-cos²x+sin²x=-3+2sin²x∈（-3，-1）；
當(dāng)x為第三象限角時(shí)，y=$\frac{sinx}{|sinx|}$+$\frac{cosx}{|cosx|}$+$\frac{tanx}{|tanx|}$+$\frac{cotx}{|cotx|}$+$\frac{cosx}{|secx|}$+$\frac{sinx}{|cscx|}$
=-$\frac{sinx}{sinx}$-$\frac{cosx}{cosx}$+$\frac{tanx}{tanx}$+$\frac{cotx}{cotx}$+$\frac{cosx}{secx}$+$\frac{sinx}{cscx}$=-cos²x-sin²x=-1；
當(dāng)x為第四象限角時(shí)，y=$\frac{sinx}{|sinx|}$+$\frac{cosx}{|cosx|}$+$\frac{tanx}{|tanx|}$+$\frac{cotx}{|cotx|}$+$\frac{cosx}{|secx|}$+$\frac{sinx}{|cscx|}$
=-$\frac{sinx}{sinx}$+$\frac{cosx}{cosx}$-$\frac{tanx}{tanx}$-$\frac{cotx}{cotx}$+$\frac{cosx}{secx}$-$\frac{sinx}{cscx}$=-2+cos²x-sin²x=-1-2sin²x∈（-3，-1）．
綜上，函數(shù)y=$\frac{sinx}{|sinx|}$+$\frac{cosx}{|cosx|}$+$\frac{tanx}{|tanx|}$+$\frac{cotx}{|cotx|}$+$\frac{cosx}{|secx|}$+$\frac{sinx}{|cscx|}$的值域是（-3，-1]∪{5}．
故答案為：（-3，-1]∪{5}．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的化簡與求值，考查了三角函數(shù)的象限符號，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．