Question

12．已知點P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在直線l：y=3x+1上，P₁是直線l與y軸的交點，數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求證：$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{2}{|}^{2}}$+$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{3}{|}^{2}}$+…+$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{n+1}{|}^{2}}$＜$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）點P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在直線l：y=3x+1上，可得b_n=3a_n+1，直線l與y軸的交點為（0，1），再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）由P₁（0，1），P_n（n-1，3n-2），可得P_n+1（n，3n+1）．于是$|{P}_{1}{P}_{n+1}{|}^{2}$=n²+（3n）²=10n²，可得$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{n+1}{|}^{2}}$=$\frac{1}{10{n}^{2}}$＜$\frac{1}{10}•\frac{1}{{n}^{2}-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{5}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
再利用“裂項求和”求出即可證明．

解答 （1）解：∵點P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在直線l：y=3x+1上，
∴b_n=3a_n+1，直線l與y軸的交點為（0，1），
∴a₁=0，b₁=1．
∵數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n-1．
∴b_n=3（n-1）+1=3n-2．
∴數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式分別為：a_n=n-1，b_n=3n-2．
（2）證明：∵P₁（0，1），P_n（n-1，3n-2），
∴P_n+1（n，3n+1）．
∴$|{P}_{1}{P}_{n+1}{|}^{2}$=n²+（3n）²=10n²，
∴$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{n+1}{|}^{2}}$=$\frac{1}{10{n}^{2}}$＜$\frac{1}{10}•\frac{1}{{n}^{2}-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{5}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴當(dāng)n≥2時，$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{2}{|}^{2}}$+$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{3}{|}^{2}}$+…+$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{n+1}{|}^{2}}$＜$\frac{1}{10}$+$\frac{1}{5}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+$…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{10}+\frac{1}{5}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}）$$＜\frac{1}{10}+\frac{1}{15}$$＜\frac{1}{6}$．．
又當(dāng)n=1時，$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{2}{|}^{2}}$=$\frac{1}{10}＜\frac{1}{6}$．
∴$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{2}{|}^{2}}$+$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{3}{|}^{2}}$+…+$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{n+1}{|}^{2}}$＜$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法、“放縮法”、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．