Question

20．為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某校從理科甲班抽取60人，從文科乙班抽取50人參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試．
（Ⅰ）根據(jù)題目條件完成下面2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)成績(jī)優(yōu)秀與學(xué)生的文理分類有關(guān)．

	優(yōu)秀人數(shù)	非優(yōu)秀人數(shù)	總計(jì)
甲班
乙班		30
總計(jì)	60

（Ⅱ）現(xiàn)已知A，B，C三人獲得優(yōu)秀的概率分別為$\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{1}{3}$，設(shè)隨機(jī)變量X表示A，B，C三人中獲得優(yōu)秀的人數(shù)，求X的分布列及期望E（X）．
附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，n=a+b+c+d

P（K2＞k0）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題設(shè)條件作出列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到${K^2}=\frac{{110{{（40×30-20×20）}^2}}}{（40+20）（20+30）（40+20）（20+30）}≈7.8＞6.635$．由此得到有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)測(cè)試與專業(yè)有關(guān)．
（2）由題設(shè)知X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）2×2列聯(lián)表如下

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	總計(jì)
甲班	40	20	60
乙班	20	30	50
總計(jì)	60	50	110

由${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$算得，${K^2}=\frac{{110{{（40×30-20×20）}^2}}}{（40+20）（20+30）（40+20）（20+30）}≈7.8＞6.635$，
所以有99%的把握認(rèn)為學(xué)生的環(huán)保知識(shí)成績(jī)與文理分科有關(guān)…5分
（Ⅱ）設(shè)A，B，C成績(jī)優(yōu)秀分別記為事件M，N，R，則$P（M）=\frac{1}{2}，P（N）=P（R）=\frac{1}{3}$
∴隨機(jī)變量X的取值為0，1，2，3…6分
$P（x=0）=P（\overline M\overline N\overline R）=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$，$P（x=1）=P（M\overline N\overline R+\overline MN\overline R+\overline M\overline NR）=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{4}{9}$$P（x=2）=P（MN\overline R+\overline MNR+M\overline NR）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{5}{18}$$P（x=3）=P（MNR）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{18}$…10分
所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{18}$

E（X）=0×$\frac{2}{9}$+1×$\frac{4}{9}$+2×$\frac{5}{18}$+3×$\frac{1}{18}$=$\frac{7}{6}$ …12分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．