Question

12．三棱錐O-ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，若OA=OB=a，OC=b，D是該三棱錐外部（不含表面）的一點，給出下列四個命題，
①存在無數(shù)個點D，使OD⊥面ABC；
②存在唯一點D，使四面體ABCD為正三棱錐；
③存在無數(shù)個點D，使OD=AD=BD=CD；
④存在唯一點D，使四面體ABCD有三個面為直角三角形．
其中正確命題的序號是①④．

Answer 1

分析 ①取AB的中點M，連接OM，CM，過點O作OQ⊥CM，可得OQ⊥平面ABC，則直線OQ上除去線段OQ上的點取為D，則OD⊥面ABC，因此存在無數(shù)個點D，使OD⊥面ABC，即可判斷出才正誤；
②以線段AB為邊作一個正△DAB，使得點C在△ABD內(nèi)的射影為△ABD的中心，這樣的點D至少有兩個，分別位于平面ABC的兩側(cè)，即可判斷出正誤；
③由已知：可以將此四面體補成一個以O(shè)A，OB，OC為鄰邊的長方體，其對角線的中點為此長方體外接球的球心D且唯一，即可判斷出正誤；
④取點O關(guān)于平面ABC的對稱點為D，則四面體ABCD有三個面為直角三角形，此D點唯一，即可判斷出正誤．

解答 解：①取AB的中點M，連接OM，CM，過點O作OQ⊥CM，可得OQ⊥平面ABC，則直線OQ上除去線段OQ上的點取為D，則OD⊥面ABC，因此存在無數(shù)個點D，使OD⊥面ABC；
②以線段AB為邊作一個正△DAB，使得點C在△ABD內(nèi)的射影為△ABD的中心，則四面體ABCD為正三棱錐，這樣的點D至少有兩個，分別位于平面ABC的兩側(cè)，因此不正確；
③∵OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，∴可以將此四面體補成一個以O(shè)A，OB，OC為鄰邊的長方體，其對角線的中點為此長方體外接球的球心D，滿足OD=AD=BD=CD，因此有唯一的一個點D，使OD=AD=BD=CD，故不正確；
④取點O關(guān)于平面ABC的對稱點為D，則四面體ABCD有三個面為直角三角形，此D點唯一，因此正確．
綜上可知：①④正確．
故答案為：①④．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)定理、直三棱錐、長方體與外接球的性質(zhì)、特殊的四面體性質(zhì)，考查了空間想象能力、推理能力，屬于中檔題．