Question

2．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）經(jīng)過點(diǎn)（4，-4）．
（1）若拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d，D（-1，3），求d+|MD|的最小值；
（2）若直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為N（2，$\frac{1}{3}$），求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)（4，-4）代入拋物線y²=2px（p＞0）可得p值，利用拋物線的定義，求d+|MD|的最小值；
（2）根據(jù)線段AB的中點(diǎn)為N（2，$\frac{1}{3}$），利用點(diǎn)差法，求出直線斜率，可得直線l的方程．

解答 解：（1）拋物線C：y²=2px（p＞0）經(jīng)過點(diǎn)（4，-4），可得p=2，
拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1，
d+|MD|=|MF|+|MD|≥|DF|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（0-3）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴d+|MD|的最小值為$\sqrt{13}$；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入拋物線方程，兩式相減得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴直線l的斜率k=$\frac{4}{2×\frac{1}{3}}$=6，
故直線l的方程為y-$\frac{1}{3}$=6（x-2），
即18x-3y-35=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，難度中檔．