Question

已知函數(shù) f（x）=

1

4

x²-

1

2

（x∈R），g（x）=lg

3-x

3+x

（-3＜x＜3）
（1）分別判斷函數(shù)f（x）和g（x）的奇偶性；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）+g（x），問：函數(shù)h（x）在區(qū)間（-2，2）上是否有零點(diǎn)？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)奇偶性的定義即可作出判斷；
（2）函數(shù)h（x）=f（x）+g（x），計(jì)算函數(shù)值h（0），h（-2），得h（0）h（-2）＜0，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知∴函數(shù)h（x）在區(qū)間（-2，0）上有零點(diǎn)．從而函數(shù)h（x）在區(qū)間（-2，0）上有零點(diǎn)．

解答：解：（1）知f（x），g（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∵f（x）=

1

4

x²-

1

2

，
∴f（-x）=

1

4

（-x）²-

1

2

=

1

4

x²-

1

2

=f（x），
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
∵g（x）=lg

3-x

3+x

，∴g（-x）=lg

3+x

3-x

=-lg

3-x

3+x

=-f（x），
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
（2）函數(shù)h（x）=f（x）+g（x），
∴h（0）=f（0）+g（0）=-

1

2

+lg1=-

1

2

＜0，
h（-2）=f（-2）+g（-2）=

1

2

+lg5=

1

2

＞0，
∴函數(shù)h（x）在區(qū)間（-2，0）上有零點(diǎn)．
從而函數(shù)h（x）在區(qū)間（-2，0）上有零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)定義域的求解及函數(shù)奇偶性的判斷，考查函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．定義是解決函數(shù)奇偶性的基本方法．