Question

生產(chǎn)某種商品需要兩種原料，甲種原料每1千克含5個單位鐵和10個單位銅，且價格為6元；乙種原料每1千克含7個單位鐵和4個單位銅，且價格為4元，該商品至少需要35個單位鐵和40個單位銅．設(shè)生產(chǎn)該商品需要甲種原料x（x＞0）千克，乙種原料（y＞0）千克，甲、乙兩種原料總費用為z元．
（1）寫出x，y滿足的約束條件；
（2）求目標(biāo)函數(shù)z的最小值，并求出相應(yīng)的x，y值．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接由題意得到滿足條件的線性約束條件；
（2）由題意得到目標(biāo)函數(shù)，再由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．

解答： 解：（1）由題意可得x，y滿足的約束條件為

5x+7y≥35 10x+4y≥40 x＞0 y＞0

；
（2）由題意知，目標(biāo)函數(shù)z=6x+4y．
在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出約束條件

5x+7y≥35 10x+4y≥40 x＞0 y＞0

表示的平面區(qū)域（如圖），
將目標(biāo)函數(shù)z=6x+4y變形為y=-

3

2

x+

z

4

，這是斜率為-

3

2

，隨著z變化的一族直線，

z

4

是直線在y軸上的截距．
當(dāng)

z

4

最小時，z最小，但是直線要與可行域相交．
由圖可知，z取得最小值是直線5x+7y=35與10x+4y=40的交點A（2.8，3），
∴z_min=6×2.8+4×3=28.8，此時x=2.8，y=3．

點評：本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)學(xué)建模思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．