Question

已知f（x）=

x+a

x2+bx+1

（-1≤x≤1）為奇函數(shù)．
（1）求a、b值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并用定義證明．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）=

x+a

x2+bx+1

（-1≤x≤1）為奇函數(shù)，可知f（0）=0，求得a，再由f（-1）=-f（1）求得b，從而有關(guān)f（x）=

x

x2+1

 （2）用定義證明其單調(diào)性，先在給定的區(qū)間上任取兩個變量且界定大小，再作差變形與零比較，要注意變形到位．

解答：解：（1）∵知f（x）=

x+a

x2+bx+1

（-1≤x≤1）為奇函數(shù)
∴f（0）=0
∴a=0，
又f（-1）=-f（1）
∴b=0
則a=0，b=0；
（2）分析可得f（x）=

x

x2+1

是增函數(shù)．
證明，任取x₁，x₂∈[-1，1]且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

＜0
∴是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考查利用奇偶性求函數(shù)解析式，利用單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性，是常規(guī)題，屬中檔題．