Question

10．函數(shù)y=ln（e^x-x+a）（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的值域是正實數(shù)集R⁺，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （0，1]
• C． （-1，0]
• D． （-1，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)，要使值域是正實數(shù)集R+，則e^x-x+a＞1，令g（x）=e^x-x+a-1，利用導(dǎo)函數(shù)研究其最小值可得結(jié)論．

解答 解：函數(shù)y=ln（e^x-x+a），（e^x-x+a＞0），
可知，y是增函數(shù)，令g（x）=e^x-x+a-，值域是正實數(shù)集R⁺，則最小值可以為1，
由g′（x）=e^x-1，
當(dāng)x∈（-∞，0）時，g′（x）＜0，則g（x）時單調(diào)遞減．
當(dāng)x∈（0，+∞）時，g′（x）＞0，則g（x）時單調(diào)遞增．
故得x=0時，g（x）取得最小值為g（0）=1+a
∴0＜1+a≤1，
故得-1＜a≤0．
故選C．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其運用，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最小值問題，屬于中檔題．