Question

如圖，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，側棱AA₁=1，側面AA₁B₁B的兩條對角線交點為D，B₁C₁的中點為M.

（Ⅰ）求證CD⊥平面BDM；

（Ⅱ）求面B₁BD與面CBD所成二面角的大小.

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：（Ⅰ）如圖，連結CA1、AC1、CM，則CA1= ∵CB=CA1=，∴△CBA1為等腰三角形， 又知D為其底邊A1B的中點， ∴CD⊥A1B.  ∵A1C1=1，C1B1=，∴A1B1=     又BB1=1，A1B=2. ∵△A1CB為直角三角形，D為A1B的中點，     ∴CD=A1B=1，CD=CC1，又DM=AC1=，DM=C1M.     ∴△CDM≌△CC1M，∠CDM=∠CC1M=90°，即CD⊥DM.     因為A1B、DM為平在BDM內兩條相交直線，所以CD⊥平面BDM. （Ⅱ）設F、G分別為BC、BD的中點，連結B1G、FG、B1F，則FG//CD，FG=CD.      ∴FG=，FG⊥BD.     由側面矩形BB1A1A的對角線的交點為D知BD=B1D=A1B=1，     所以△BB1D是邊長為1的正三角形.    于是B1G⊥BD，B1G=   ∴∠B1GF是所求二面角的平面角，     又 B1F2=B1B2+BF2=1+（=， ∴  即所求二面角的大小為 解法二：如圖，以C為原點建立坐標系. （Ⅰ）B（，0，0），B1（，1，0），A1（0，1，1）， D（，M（，1，0）， 則   ∴CD⊥A1B，CD⊥DM. 因為A1B、DM為平面BDM內兩條相交直線，所以CD⊥平面BDM. （Ⅱ）設BD中點為G，連結B1G，則 G（），、、）， 所以所求的二面角等于