Question

已知函數(shù)f（x）=ln（

1

2

+

1

2

ax）+x²-ax（a為常數(shù)，a＞0）．
（1）若x=-

1

2

是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；
（2）求證：當(dāng)0＜a≤2時(shí)，f（x）在[

1

2

，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），由f′（-

1

2

）=0，求出a的值即可．
（2）利用f′（x）=

2ax2-(a2-2)x

1+ax

=0，求出x=0，x=

a2-2

2a

，通過0＜a≤

2

時(shí)，f（x）滿足要求使f（x）在[

1

2

，+∞）上為增函數(shù)；

2

＜a≤2時(shí)，f（x）在[

a2-2

2a

，+∞）上是增函數(shù)．結(jié)合

a2-2

2a

-

1

2

≤0，即可證明f（x）在[

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增．

解答： 解：（1）f′（x）=

a

1+ax

+2x-a=

2ax2-(a2-2)x

1+ax

，
∴由f′（-

1

2

）=0，
得a²+a-2=0，
∵a＞0，∴a=1.4分
（2）f′（x）=

2ax2-(a2-2)x

1+ax

=0得x=0，x=

a2-2

2a

，
當(dāng)0＜a≤

2

時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，滿足要求使f（x）在[

1

2

，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)

2

＜a≤2時(shí)，f（x）在[

a2-2

2a

，+∞）上是增函數(shù)．
又因?yàn)?span id="6nuhiub" class="MathJye">

a2-2

2a

-

1

2

=

a2-a-2

2a

=

(a-2)(a+1)

2a

≤0，
即

a2-2

2a

≤

1

2

，
即f（x）在[

1

2

，+∞）上是增函數(shù)．
所以f（x）在[

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增.12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的證明，考查分類討論以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．