Question

已知各項都不相等的等差數(shù)列{a_n}的前五項和為30，且a₂是a₁和a₄的等比中項．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n及前n項和S_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

Sn

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列的公差，由已知列方程組求出首項和公差，則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n及前n項和S_n可求；
（2）把S_n代入b_n=

1

Sn

，整理后利用裂項相消法求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則5a₁+10d=30 ①
又a22=a1a4⇒(a1+d)2=a1(a1+3d)⇒d²=da₁，
等差數(shù)列{a_n}各項都不相等，可知公差為d≠0，
∴d=a₁ ②
由①②解得a₁=2，d=2，
∴a_n=2+（n-1）•2=2n．Sn=

n(2+2n)

2

=n(n+1)；
（2）bn=

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=b1+b2+…+bn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了裂項相消法求數(shù)列的和，是中檔題．