Question

12．直線l交橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1與M，N兩點，橢圓的上頂點為B點，若△BMN的重心坐標為（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$），則直線l的方程是（　�。�

• A． 2x-4y+3=0
• B． 2x-4y-3=0
• C． 4x-2y-3=0
• D． x-y-5=0

Answer 1

分析 設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），MN的中點為G，MN的方程為y=kx+b，結合題意可得G的坐標，再通過A、B在橢圓上、利用“點差法”求得直線l的斜率，再由直線方程的點斜式得答案．

解答 解：設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），MN的中點為G，MN的方程為y=kx+b，
由橢圓方程易知B（0，2），
又△BMN的重心坐標為（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$），
由重心坐標公式可得$\frac{0+{x}_{1}+{x}_{2}}{3}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{2+{y}_{1}+{y}_{2}}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴x₁+x₂=1，y₁+y₂=-1，則MN的中點G為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
又∵M、N在橢圓上，
∴${{x}_{1}}^{2}$+2${{y}_{1}}^{2}$=8，${{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=8$，
兩式相減得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
又∵x₁+x₂=1，y₁+y₂=-1，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{-1}$=$\frac{1}{2}$，
又∵直線MN過點G（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴則直線l的方程是y+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$），
整理得：2x-4y-3=0，
故選：B．

點評 本題主要考查了直線與橢圓相交的位置關系、三角形的重心坐標公式，注意解題方法的積累，屬于中檔題．