Question

17．已知：空間四邊形ABCD中，H、G分別是AD、CD的中點(diǎn)，E、F分別在BC、AB邊 上，且AF=$\frac{1}{3}$AB，CE=$\frac{1}{3}$BC
求證：EG、BD、FH三線共點(diǎn)．

Answer 1

分析 證明EG、BD、FH三線共點(diǎn)，即證明EG和FH的交點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上，利用公理三可得結(jié)論．

解答 證明：如下圖所示：

在空間四邊形ABCD中，
∵H、G分別是AD、CD的中點(diǎn)，
∴HG∥AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，
∵E、F分別在BC、AB邊 上，且AF=$\frac{1}{3}$AB，CE=$\frac{1}{3}$BC，
∴EF∥AC，EF=$\frac{2}{3}$AC，
∴HG∥EF，HG≠EF，
即EFGH四點(diǎn)共線，且EG，F(xiàn)H不平行，
故EG，F(xiàn)H必相交于P，
由E，G∈平面BCD得：EG?平面BCD，
∴P∈平面BCD，
同理P∈平面BAD，
故P在平面BCD和平面BAD的交線BD上，
即EG、BD、FH三線共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 所謂線共點(diǎn)問(wèn)題就是證明三條或三條以上的直線交于一點(diǎn)．（1）證明三線共點(diǎn)的依據(jù)是公理3．（2）證明三線共點(diǎn)的思路是：先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上的問(wèn)題．實(shí)際上，點(diǎn)共線、線共點(diǎn)的問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線上的問(wèn)題來(lái)處理．