Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，滿足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是-

1

4

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)直線l：y=t²-t（其中0＜t＜

1

2

，t為常數(shù)），若直線l與f（x）的圖象以及y軸所圍成封閉圖形的面積是S₁（t），直線l與f（x）的圖象所圍成封閉圖形的面積是S₂（t），設(shè)g(t)=S1(t)+

1

2

S2(t)，當(dāng)g（t）取最小值時(shí)，求t的值．
（3）已知m≥0，n≥0，求證：

1

2

(m+n)2+

1

4

(m+n)≥m

n

+n

m

．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件選擇待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式是解決本題的關(guān)鍵，充分借助二次函數(shù)的對(duì)稱性解決該問題可以事半功倍；
（2）利用定積分表示出所求的圖形面積是解決本題的關(guān)鍵．得出關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)函數(shù)解析式的類型選擇合適的方法求解該函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)求解其最小值；
（3）利用均值不等式進(jìn)行放縮是證明該不等式的關(guān)鍵，根據(jù)已知的函數(shù)可以得出關(guān)于m，n的不等式．

解答：解：（1）由二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，可設(shè)f(x)=a(x-

1

2

)2-

1

4

，又f（0）=0∴a=1
故f（x）=x²-x．
（2）據(jù)題意，直線l與f（x）的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t²-t），由定積分的幾何意義知g(t)=S1(t)+

1

2

S2(t)=-

∫

t 0

[(t2-t)-(x2-x)]dx-

∫

1 2 t

[(x2-x)-(t2-t)]dx
=

∫

t 0

[(x2-x)-(t2-t)]dx+

∫

1 2 t

[(t2-t)-(x2-x)]dx
=[(

x3

3

-

x2

2

)-(t2-t)x]

|

t 0

+[(t2-t)x-(

x3

3

-

x2

2

)]

|

1 2 t

=-

4

3

t3+

3

2

t2-

1

2

t+

1

12

．
而g′(t)=-4t2+3t-

1

2

=-

1

2

(8t2-6t+1)=-

1

2

(4t-1)(2t-1)
令g′(t)=0?t=

1

4

，或t=

1

2

（不合題意，舍去）
當(dāng)t∈(0，

1

4

)，g′(t)＜0，g（t）遞減，t∈[

1

4

，

1

2

)，g'（t）≥0，g（t）遞增，
故當(dāng)t=

1

4

時(shí)，g（t）有最小值．
（3）∵f（x）的最小值為-

1

4

∴m-

m

≥-

1

4

①n-

n

≥-

1

4

②
①+②得：m+n+

1

2

≥

m

+

n

③
又

1

2

(m+n)2+

1

4

(m+n)=

1

2

(m+n)(m+n+

1

2

)
由均值不等式和③知：

1

2

(m+n)≥

mn

；?m+n+

1

2

≥

m

+

n

故

1

2

(m+n)2+

1

4

(m+n)=

1

2

(m+n)(m+n+

1

2

)
≥

mn

(

m

+

n

)=m

n

+n

m

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求解，考查二次函數(shù)的對(duì)稱性．考查定積分求解曲邊圖形面積的思想和方法，導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的工具作用．考查函數(shù)思想解決證明不等式問題、用到了均值定理進(jìn)行放縮．