Question

（2007•嘉定區(qū)一模）已知向量

a

={sinx+cosx，2(cosx-1)}，

b

={sinx+cosx，cosx+1}，函數(shù)f(x)=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值，并求當(dāng)f（x）取得最大值時x的集合；
（2）當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）通過

a

和

b

的數(shù)量積表示出函數(shù)的解析式，進(jìn)而利用兩角和公式和二倍角公式化簡整理，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)f（x）的最大值，并求當(dāng)f（x）取得最大值時x的集合；
（2）根據(jù)x的范圍確定2x+

π

4

的范圍，進(jìn)而利用正弦定理的單調(diào)性求得函數(shù)的最值，求得函數(shù)的值域．

解答：解：（1）f（x）=（sinx+cosx）²+2（cos²x-1）=1+2sinxcosx+2cos²x-2=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)，（3分）
∴函數(shù)f（x）的最大值是

2

，此時x的集合是{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}．（6分）
（2）當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時，2x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，（8分）
則sin(2x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]，（12分）
所以，函數(shù)f（x）的值域是[-1，

2

]．  （14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性，和兩角和公式，二倍角公式的運(yùn)用．三角函數(shù)的基本公式較多，注意多積累．