Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+1-a（a∈R）．
（1）試討論f（x）的單調性；
（2）當函數(shù)f（x）有三個不同的零點時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導數(shù)，即可討論f（x）的單調性；
（2）當函數(shù)f（x）有三個不同的零點時，求出函數(shù)的極值，滿足極大值大于0且極小值小于即可求a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)的導數(shù)f′（x）=3x²+2ax=3x（x+$\frac{2a}{3}$），
若a=0，則f′（x）=3x²≥0恒成立，即此時函數(shù)單調遞增．
若a＞0，則由f′（x）＞0得x＞0或x＜-$\frac{2a}{3}$，此時函數(shù)單調遞增，
由f′（x）＜0得-$\frac{2a}{3}$＜x＜0，此時函數(shù)單調遞減．
若a＜0，則由f′（x）＞0得x＞-$\frac{2a}{3}$或x＜0，此時函數(shù)單調遞增，
由f′（x）＜0得0＜x＜-$\frac{2a}{3}$，此時函數(shù)單調遞減．
（2）由（1）知，若a＞0，則由f′（x）＞0得x＞0或x＜-$\frac{2a}{3}$，此時函數(shù)單調遞增，
由f′（x）＜0得-$\frac{2a}{3}$＜x＜0，此時函數(shù)單調遞減．
即當x=0時，函數(shù)f（x）取得極小值f（0）=1-a，
當x=-$\frac{2a}{3}$時，函數(shù)f（x）取得極大值f（-$\frac{2a}{3}$）=$\frac{4{a}^{3}}{27}$+1-a，
若函數(shù)f（x）有三個不同的零點時，則$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{2a}{3}）=\frac{4{a}^{3}}{27}+1-a＞0}\\{f（0）=1-a＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞-3且a≠\frac{3}{2}}\\{a＞1}\end{array}\right.$，解得a＞1且a≠$\frac{3}{2}$，
若a＜0，則由f′（x）＞0得x＞-$\frac{2a}{3}$或x＜0，此時函數(shù)單調遞增，
由f′（x）＜0得0＜x＜-$\frac{2a}{3}$，此時函數(shù)單調遞減．
則當x=0時，函數(shù)f（x）取得極大值f（0）=1-a，
當x=-$\frac{2a}{3}$時，函數(shù)f（x）取得極小值f（-$\frac{2a}{3}$）=$\frac{4{a}^{3}}{27}$+1-a，
若函數(shù)f（x）有三個不同的零點時，則$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{2a}{3}）=\frac{4{a}^{3}}{27}+1-a＜0}\\{f（0）=1-a＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＜-3}\\{a＜1}\end{array}\right.$，解得a＜-3，
綜上a＞1且a≠$\frac{3}{2}$或a＜-3．

點評 本題主要考查導數(shù)的應用，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵．