Question

（2011•孝感模擬）已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿(mǎn)足a₁=1且bn=1-2an，bn+1=

bn

1-4  a 2 n

．
（I）證明：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求使不等式(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥k

1 b2b3…bnbn+1

對(duì)任意正整數(shù)n都成立的最大實(shí)數(shù)k．

Answer 1

分析：（I）由題設(shè)知（1+2a_n）（1-2a_n+1）=1，故a_n-a_n+1=2a_n•a_n+1，

1

an+1

-

1

an

=2，由此能夠證明數(shù)列{

1

an

}是以

1

a1

=1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，并能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由bn=

2n-3

2n-1

，知b2b3…bnbn+1=

1

2n+1

，故1+an=1+

1

2n-1

=

2n

2n-1

，則k≤

2× 4 3 × 6 5 ×…× 2n 2n-1

2n+1

，由此能求出滿(mǎn)足條件的最大實(shí)數(shù)k的值．

解答：（I）證明：∵數(shù)列{a_n}和{b_n}滿(mǎn)足a₁=1，
且bn=1-2an，bn+1=

bn

1-4  a 2 n

，
∴（1+2a_n）（1-2a_n+1）=1，
∴a_n-a_n+1=2a_n•a_n+1，
∴

1

an+1

-

1

an

=2，
∴數(shù)列{

1

an

}是以

1

a1

=1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴

1

an

=1+2（n-1）=2n-1，
∴an=

1

2n-1

．
（Ⅱ）解：由（I）得bn=

2n-3

2n-1

，
b2b3…bnbn+1=

1

2n+1

，
1+an=1+

1

2n-1

=

2n

2n-1

，
則k≤

2× 4 3 × 6 5 ×…× 2n 2n-1

2n+1

，
記f（n）=

2× 4 3 × 6 5 ×…× 2n 2n-1

2n+1

，
則

f(n+1)

f(n)

=

2n+2

(2n+1)(2n+2)

＞1，
∴數(shù)列{f（n）}是遞增數(shù)列，
要使原不等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立，只要k≤f（1），
即k≤

2

3

3

，
∴滿(mǎn)足條件的最大實(shí)數(shù)k為

2

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．