Question

【題目】用平面截圓柱面，當(dāng)圓柱的軸與所成角為銳角時(shí)，圓柱面的截面是一個(gè)橢圓，著名數(shù)學(xué)家創(chuàng)立的雙球?qū)嶒?yàn)證明了上述結(jié)論.如圖所示，將兩個(gè)大小相同的球嵌入圓柱內(nèi)，使它們分別位于的上方和下方，并且與圓柱面和均相切.給出下列三個(gè)結(jié)論：

①兩個(gè)球與的切點(diǎn)是所得橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)；

②若球心距，球的半徑為，則所得橢圓的焦距為2；

③當(dāng)圓柱的軸與所成的角由小變大時(shí)，所得橢圓的離心率也由小變大.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）

A.①B.②③C.①②D.①②③

Answer 1

【答案】C

【解析】

設(shè)圓柱的底面半徑為，根據(jù)題意分別求得，，，結(jié)合橢圓的結(jié)合性質(zhì)，即可求解.

由題意，作出圓柱的軸截面，如圖所示，

設(shè)圓柱的底面半徑為，根據(jù)題意可得橢圓的短軸長為，即，

長軸長為，即，

在直角中，可得，即，

又由，

即，所以，

又因?yàn)闄E圓中，所以，即切點(diǎn)為橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，所以①是正確的；

由，可得，又由球的半徑為，即，

在直角中，，

由①可知，即，所以，即橢圓的焦距為2，所以②是正確的；

由①可得，，所以橢圓的離心率為，

所以當(dāng)當(dāng)圓柱的軸與所成的角由小變大時(shí)，所得橢圓的離心率變小，所以③不正確.

故選：C