【題目】在如圖所示的三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，是的中位線，為線段的中點(diǎn).

（1）證明：.

（2）若二面角為直二面角，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）如圖，由中位線可得，取的中點(diǎn)為，取的中點(diǎn)，連接，可證平面，從而可證.

（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出平面的法向量和平面的法向量的夾角的余弦值后可得二面角的余弦值.

（1）如圖，取的中點(diǎn)為，取的中點(diǎn)，連接.

因?yàn)?/span>是邊長為2的等邊三角形，，所以.

因?yàn)?/span>，故，故.

因?yàn)?/span>，所以且，所以.

因?yàn)?/span>，故，所以.

因?yàn)?/span>，平面,平面，故平面，

因?yàn)?/span>平面，.

因?yàn)?/span>，故，所以.

（2）由（1）可得，

所以為二面角的平面角，

因?yàn)槎娼?/span>為直二面角，所以即.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則.

故，，.

設(shè)平面的法向量為，

則即，故，取，則，

所以.

設(shè)平面的法向量為，

則即，取，則，

故，

所以，

因?yàn)槎娼?/span>的平面角為銳角，

故二面角的余弦值為.

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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，圓的方程為．

（1）寫出直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；

（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓與直線交于兩點(diǎn)，求的值．

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（1）若的圖象在處的切線恰好也是圖象的切線.

①求實(shí)數(shù)的值；

②若方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)于區(qū)間上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)， ，都有成立.

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【題目】函數(shù)圖象上不同兩點(diǎn)，，，處的切線的斜率分別是，，規(guī)定叫曲線在點(diǎn)與點(diǎn)之間的“彎曲度”，給出以下命題：

（1）函數(shù)圖象上兩點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為1，2，則；

（2）存在這樣的函數(shù)，圖象上任意兩點(diǎn)之間的“彎曲度”為常數(shù)；

（3）設(shè)點(diǎn)、是拋物線，上不同的兩點(diǎn)，則；

（4）設(shè)曲線上不同兩點(diǎn)，，，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；

以上正確命題的序號(hào)為__（寫出所有正確的）

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【題目】已知二次函數(shù)，不等式的解集有且只有一個(gè)元素，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

（3）設(shè)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列中，滿足的正整數(shù)的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的變號(hào)數(shù)，令，求數(shù)列的變號(hào)數(shù).

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