Question

【題目】已知，點是圓上一動點，動點滿足，點在直線上，且.

（1）求點的軌跡的標準方程；

（2）已知點在直線上，過點作曲線的兩條切線，切點分別為，記點到直線的距離分別為，求的最大值，并求出此時點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2），

【解析】

（1）由題可得是線段的垂直平分線，所以可得，由橢圓的定義可知，點軌跡是以為焦點，以4為長軸長的橢圓，即可求得方程；

（2）設(shè)，可知點處的切線的方程為，同理可得切線的方程為，故直線的方程為，表示出，，；算出，求出其最大值即可.

解：（1）由，可知為線段的中點，

又，所以是線段的垂直平分線，故.

因為點在直線上，所以.

由橢圓的定義可知，點軌跡是以為焦點，以4為長軸長的橢圓，即，

解得，

另當點坐標為時，與重合，不符合題意，故的標準方程為.

（2）設(shè)，所以曲線點處的切線的方程為，又因為切線過，所以.

同理可得，故直線的方程為.

所以.

因為直線的方程為，所以，.

又因為在直線的兩側(cè)，

所以

，

所以，

令，，

則，

當，即時，有最大值，

此時點的坐標為.