【題目】已知，點是圓上一動點，動點滿足，點在直線上，且.

（1）求點的軌跡的標準方程；

（2）已知點在直線上，過點作曲線的兩條切線，切點分別為，記點到直線的距離分別為，求的最大值，并求出此時點的坐標.

【答案】（1）；（2），

【解析】

（1）由題可得是線段的垂直平分線，所以可得，由橢圓的定義可知，點軌跡是以為焦點，以4為長軸長的橢圓，即可求得方程；

（2）設，可知點處的切線的方程為，同理可得切線的方程為，故直線的方程為，表示出，，；算出，求出其最大值即可.

解：（1）由，可知為線段的中點，

又，所以是線段的垂直平分線，故.

因為點在直線上，所以.

由橢圓的定義可知，點軌跡是以為焦點，以4為長軸長的橢圓，即，

解得，

另當點坐標為時，與重合，不符合題意，故的標準方程為.

（2）設，所以曲線點處的切線的方程為，又因為切線過，所以.

同理可得，故直線的方程為.

所以.

因為直線的方程為，所以，.

又因為在直線的兩側，

所以

，

所以，

令，，

則，

當，即時，有最大值，

此時點的坐標為.

練習冊系列答案
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【題目】如圖，橢圓的左、右焦點分別為、，，點A為橢圓C上異于左右頂點的任意一點，A關于原點O的對稱點為B，，且．

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）若是A關于x軸的對稱點，設點，連接NA，直線NA與橢圓C相交于點E，直線與x軸相交于點M，求點M的坐標．

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A.B.C.D.

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（2）求的面積。

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【題目】隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展，居民收入逐年增長.某地區(qū)2014年至2018年農(nóng)村居民家庭人均純收入（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：

年份

2014

2015

2016

2017

2018

年份代號

1

2

3

4

5

人均純收入

5

4

7

8

10

（1）求關于的線性回歸方程；

（2）利用（1）中的回歸方程，分析2014年至2018年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測2019年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入為多少？

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.

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【題目】中國古代數(shù)學經(jīng)典《數(shù)書九章》中，將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的陽馬中，底面ABCD是矩形.平面，，，以的中點O為球心，AC為直徑的球面交PD于M（異于點D），交PC于N（異于點C）.

（1）證明：平面，并判斷四面體MCDA是否是鱉臑，若是，寫出它每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，請說明理由；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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